Die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, ...

sind so natürlich wie ihr Name es zum Ausdruck bringt. Man kann sich gut vorstellen, wie Menschen einst damit anfingen, sich mitzuteilen, wie viele Mammuts man gesehen hat (kardinaler Aspekt), oder wie Kinder erzählten, dass sie erster, zweiter oder dritter bei einem Wettlauf geworden waren (ordinaler Aspekt). Unser gängiges Dezimalsystem hat sich durchgesetzt, weil wir zehn (= 2×5) Finger haben. In Babylonien verwendete man das Zahlensystem mit der Basis 60 (= 2×2×3×5), Computer verwenden das System mit der Basis 2. Das Römische System für die Zahlen erwies sich zum Rechnen als zu umständlich.

Unabhängig vom System, sind die Eigenschaften der natürlichen Zahlen. Man kann unterscheiden zwischen geraden und ungeraden Zahlen einerseits, sowie zwischen Primzahlen und zusammengesetzten Zahlen andererseits. 1 ist natürlich nicht zusammengesetzt, wird aber auch nicht als prim bezeichnet, denn sonst wären ja alle Zahlen zusammengesetzt (17 = 1×17). 2 ist die einzige gerade Primzahl. Man unterscheidet nicht zwischen Glückszahlen und Unglückszahlen. Auch sonstige Bedeutungen gelten nicht. Beispielsweise gibt der 31. Tag im 12. Monat keinerlei Anlass dafür, Raketen in die Luft zu schießen oder zu lärmen.

Mathematiker bezeichnen die Menge der natürlichen Zahlen mit N, es ist also N := {1, 2, 3, ⋅⋅⋅}. (Ingenieure bezeichnen lieber N₀ = {0, 1, 2, 3, ⋅⋅⋅} als die natürlichen Zahlen). N ist unter Addition abgeschlossen. Versuche im Subtrahieren führten zu den additiven Inversen -N = {⋅⋅⋅, -3, -2, -1} und zur Null. Ein Axiomensystemen für N bilden zum Beispiel die Peanoschen Axiome:
(1) 1 ist eine natürliche Zahl.
(2) Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger.
(3) 1 ist kein Nachfolger.
(4) Zwei verschiedene natürliche Zahlen haben immer auch verschiedene Nachfolger.
(5) Enthält eine Menge M natürlicher Zahlen die Zahl 1 und gilt für jede in M enthaltene Zahl, dass auch ihr Nachfolger in M enthalten ist, dann gilt M = N.

Die ganzen Zahlen ...

Die rationalen Zahlen

Körperaxiome (algebraische Axiome):
(1) Kommutation für beide Operationen. (a+b = b+a; a⋅b = b⋅a)
(2) Assoazivität für beide Operationen. (a+(b+c) = (a+b)+c; a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c)
(3) Die Multiplikation ist distributiv bezüglich der Addition. (a⋅(b+c) = a⋅b+a⋅c)
(4) Es existieren neutrale Elemente (0 bzw. 1) für beide Operationen. (a+0 = a; a⋅1 = a)
(5) Für jede Zahl (ausgenommen die 0 für die Multiplikation) existieren inverse Elemente für beide Operationen. (a+(−a) = 0; a⋅¹/_a = a⋅a^-1 = 1)
Ausgestattet mit diesen 5 Axiomen ist Q bereits ein Körper K.

Ordnungsaxiome:
(6) Trichotomiegesetz. (Es kann immer nur eine der 3 Beziehung wahr sein: a < b, a = b, a > b)
(7) Transitivitätsgesetz. (Wenn a < b und b < c dann a < c)
(8) Monotoniegesetz. (Wenn a < b dann a+c < b+c für alle c, a⋅c < b⋅c für alle c > 0)
Ausgestattet mit diesen 8 Axiomen wird Q zu einem angeordneter Körper K.

Die reellen Zahlen R

Mit einem angeordneter Zahlenkörper wie Q kann man doch gut rechnen, würde man meinen! Ja, schon. Aber da fehlt noch was. Denn unendlich und überall dicht, heisst noch lange nicht vollständig. Beim rechtwinkeligen Dreieck mit 2 gleichen Schenkeln der Länge a = b, gilt ja a² + b² = c² (Pythagoras ;-) also a² + a² = c² also c = √(a² + a²) = √(2a²) = a√2. So haben wir es gelernt. Was wir aber √2 nennen, ist keine rationale Zahl, denn sie entzieht sich der Darstellung als Bruch zweier ganzer Zahlen. (Ein Beweis dafür findet sich hier).
Wer das entdeckte? Vor gut 2.500 Jahren, ca. 700 Jahre noch bevor man in Indien die Null nachweisen kann, kamen die Pythagoreer mit ihren geometrischen Methoden schon dahinter, dass es Strecken gibt, von denen sich die eine nicht als ganzzahliges Vielfaches der anderen schreiben lässt. Die Leute um Pythagoras nannten solche Strecken inkommensurabel, hielten ihre Entdeckung der Inkommensurabilität aber geheim, denn sie wollten sie nicht wahr haben, weil sie nicht zu ihrer Harmonieverliebtheit passte. Es war aber auch schwierig zu verstehen, und das Ringen darum, das Unendliche und das "unendlich Kleine" in den Griff zu bekommen, zog sich lange hin. Selbst Newton und Leibnitz gebrauchten noch diffuse Beschreibungen. Leute wie Euler, Bolzano, Cauchy, Weierstraß, Cantor, Dedekind und viele andere, haben die Dinge allmählich erhellt und Methoden zur Handhabung entwickelt.
Leonhard Euler (1707 - 1783) fand die Beziehung e^iα = cosα+isinα die für α = π zu e^iπ+1 = 0 wird. Es ist eines der vielen Wunder der Natur, die zwei biederen Zahlen 0 und 1 in einer Beziehung mit so illustren Gestalten, wie e, π und i, mit i² = −1, zu sehen. Die in der Eulerschen Formel e^iπ+1 = 0 auftretenden Größen e (Eulersche Zahl e = 2,71828…, Basis des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion) und π (π = 3,14159…, Kreismessungszahl U/d) hätten Pythagoras noch mehr aus der Fassung gebracht als √2. Die irrationale √2 kann wenigstens einer algebraischen Gleichung genügen, gehört also zusammen mit den rationalen Zahlen zu den algebraischen Zahlen, während die irrationalen e und π zu den transzendente Zahlen gehören. (Es gibt ℵ₀ algebraische Zahlen und c transzendente Zahlen;

ℵ0 < c < P[(0,1)] < P[P[(0,1)]]	< P[P[P[(0,1)]]] < ⋅⋅⋅;

Der Dedekindsche Schnitt
oder der Weg ins Kontinuum

Der Schnitt sei am Beispiel der Zahl √2 erläutert. Fasst man alle Zahlen, deren Quadrat < 2 ist, in einer Menge A zusammen und alle Zahlen deren Quadrat > 2 ist, in einer Menge B, dann muss zwischen A und B eine Lücke sein, in welcher √2 sein muss. Es liegt ein Dedekindschen Schnitt (A|B) mit der Trennungszahl t = √2 vor. Wir haben
(1) Sowohl A als auch B sind echte Teilmengen von R. (A ⊂ R ∧ B ⊂ R)
(2) A vereinigt mit B ergibt R ohne √2. (A ∪ B = R\√2)
(3) Für jedes a aus A und für jedes b aus B gilt a < b, bzw. gilt a ≤ t = √2 ≤ b. (∀ a ∈ A ∧ ∀ b ∈ B ist a < b, bzw. gilt a ≤ t = √2 ≤ b). Mit solchen Schnitten werden die Lücken in den rationalen Zahlen aufgespürt und gefüllt.

Das Schnittaxiom oder Axiom der Ordnungsvollständigkeit:
(9) Jeder Dedekindsche Schnitt in R hat genau eine Trennungszahl.
Ausgestattet mit diesem 9. Axiom ist R ein ordnungsvollständiger Körper K.

Beispiel: Aus a < b folgt 2a = a+a < a+b < b+b = 2b ⇒ a < (a+b)/2 < b (Ungleichung des arithmetischen Mittels).

Anmerkungen:
− Die Trennungszahl t eines Dedekindschen Schnitts (A|B) ist immer das Maximum der Menge A oder das Minimum der Menge B. In beiden Fällen ist sie sowohl Supremum von A als auch Infimum von B. In anderen Worten, man kann den Schnitt (A|B) so (−∞ , t] | (t , ∞) oder so (−∞ , t) | [t , ∞) darstellen. In beiden Fällen repräsentiert er die Zahl t ∈ R. Im Falle √2 also so (−∞ , √2] | (√2 , ∞) oder so (−∞ , √2) | [√2 , ∞).

− Das Vollständigkeitsaxiom, Axiom (9), ist das eigentlich analytische Axiom und das Verständnis dafür wächst mit der Zeit. Hier noch ein paar Formulierungen, die zum Schnitt äquivalente sind:

9a) Supremumsprinzip: Jede nicht-leere nach oben beschränkte Teilmenge von R hat eine kleinste obere Schranke (Supremum). Jede nicht-leere nach unten beschränkte Teilmenge von R hat eine größte untere Schranke (Infimum).
Zum Beweis des Infimumprinzips sei M ≠ ∅ nach unten beschränkt. Besitzt M ein kleinstes Element, also ein Minimum, ist dies eine untere Schranke von M, sogar die grösste untere Schranke, also das Infimum von M, somit ist nichts zu zeigen. Besitzt M kein kleinstes Element, bilden wir die Mengen A aller unteren Schranken von M und B := R\A; also gilt A ∪ B = R. Weiters ist A nicht leer (enthält untere Schranken), M besitzt mindestens ein x aber keine unteren Schranken, also gilt M ⊂ B, B ist nicht leer (enthält u. a. alle b > x), und es gilt a < b für alle a ϵ A, b ϵ B. Die Mengen A, B definieren also einen Schnitt (A|B). Da für die Trennungszahl t des Schnittes, die nach Axiom (9) existiert, stets a ≤ t ≤ b (a ϵ A, b ϵ B) gilt, folgt daraus, dass t eine untere Schranke von M ist, also in A liegt und somit das grösste Element von A, also die grösste aller unteren Schranken von M ist.
Das Supremumsprinzip zeigt man in gleicher Weise. Wir erhalten damit die Erkenntnnis, dass jeder nichtleere, beschränkte Intervall reeller Zahlen ein Infimum und ein Supremum besitzt.
9b) Intervallschachtelung: Der Durchschnitt jeder absteigenden Folge von nicht-leeren Intervallen ist nicht leer.
9c) Jede Cauchyfolge (a_n) konvergiert.
(Strebt a_n → a, gibt es für jedes ε > 0 ein n₀, so dass für alle n > n₀ stets |a_n − a| < ε/₂ bleibt. Sind also die indices m, n beide > n₀, so ist |a_m − a_n| ≤ |a_m − a| + |a − a_n| < ε/₂ + ε/₂ = ε. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist, wenn es also zu jedem ε > 0 einen index n₀ = n₀(ε) gibt, so dass für alle m, n > n₀ jeweils |a_m − a_n| < ε ist).
9c) Für jede offene Überdeckung Ω eines abgeschlossenen Intervalls [a, b] gibt es eine endliche Teilmenge Ω' ⊂ Ω die bereits [a, b] überdeckt.

− Summa sumarum: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C, wobei C = {(a + ib) | a,b ∈ R ∧ i² = −1}. Die komplexen Zahlen C bilden einen vollständigen Zahlenkörper, der durch Schnitte nicht mehr angereichert werden kann. C ist aber nicht angeordnet (keine Ordnungsaxiome).

1.3. DEFINISIE: Gestel X ⊂ R. As daar ’n getal a bestaan so dat so dat vir elke x ϵ X geld dat x ≤ a dan heet a ’n bogrens van X, ...

1.4. DEFINISIE: As X ⊂ R van bo begrens is dan heet die kleinste van die bogrense van X die supremum of die kleinste bogrens van X en word geskryf as sup X of k.b.g. X. ...

1.5. STELLING: As X ⊂ R dan is sup X = γ ϵ R as en slegs as
    (i) x ≤ γ vir alle x ϵ X,
    (ii) vir elke reële getal ε > 0 ’n x ϵ X bestaan sodanig dat γ − ε < x.