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Wiskunde - Les Mathématiques - mathēmatikē téchnē
Du brauchst Bewegung und Abenteuer im Kopf.
Der Goldene Schnitt und
  die Fibonacci-Folge



b x b - x


In der Natur, und von der Kunst nachgeahmt, erscheint of ein bestimmtes Größenverhältnis, der Goldenen Schnitt genannt, als besonders harmonisch.

Will man das orange Band in der Skizze im Goldenen Schnitt teilen, dann muss man die Schere so ansetzen, dass sich die Länge b zum größeren Abschnitt x so verhält, wie x zum kleinere Abschnitt (b - x). Also 

b / x = x / (b - x).

Wir lösen auf nach x und erhalten die quadratische Gleichung 
x² + bx - b² = 0


mit den beiden Lösungen

x1,2
= [ -b ± √(b² + 4b²) ] / 2
= [ -b ± b √(1 + 4) ] / 2
= [ -b ± b √5 ] / 2
= b · ( -1 ± √5) / 2.

Somit

x1 = b · ( -1 + √5) / 2 ≈ 0,618 · b    
x2 = b · ( -1 - √5) / 2 ≈ - 1,618 · b.

Die naheliegende Lösung ist x1, daher wählen wir

x = b · (√5 - 1) / 2 ≈ 0,618 · b
und erhalten damit das Teilungsverhältnis

φ := x / b = (√5 - 1) / 2 ≈ 0,618.

Der Kehrwert wird oft mit großem Phi bezeichnet, also
Φ := b / x ≈ 1,618.

Der Goldenen Schnitt hat also nicht nur in der realen Welt Bedeutung, auch in der Mathematik ist er eine illustre Erscheinung. Denn es ist doch äußerst bemerkenswert:
Φ = 1 / (Φ - 1) = 1 / φ     also     1,618 = 1 / 0,618    
und
φ = 1 / Φ     also     0,618 = 1 / 1,618     ☺

Man lasse es sich auf der Zunge zergehen:

φ = (√5 - 1) / 2 ≈ 0,618
  und  


Φ = (√5 + 1) / 2 ≈ 1,618
    ♫


Weil man dieses Spiel mit den immer gleichbleibenden Verhältnissen beliebig (ad infinitum) fortsetzen kann, enstand auch die Bezeichnung "stetige Teilung einer Strecke".


Es gibt zum Goldenen Schnitt verschiedene Konstruktionen, auch mit Zehnecken, Fünfecken etc.


Überraschend ist der Auftritt des Goldenen Schnitts als Grenzwert der Fibonacci-Folge*: 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , ... .

Wie 377 / 233 ≈ 1.618 schon vermuten lässt, kann man zeigen,


limn → ∞ an / an - 1 = (√5 + 1) / 2
    ♫ ♫


* Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge: Sie beginnt mit 1, 1 und die weiteren Elemente sind jeweils die Summe der beiden Vorgänger:
    1 + 1 = 2;     1 + 2 = 3;     2 + 3 = 5;     3 + 5 = 8;     5 + 8 = 13;   usw.

Ein physikalisch-technischer Vektor unter zwei Gesichtspunkten betrachtet

In der Mathematik kann ein Vektor so manches Objekt sein: z. B. eine Folge, eine Funktion, eine Matrix, ein n-Tupel, etc., aber auch das, was Physiker und Ingenieure darunter verstehen, nämlich beschränkt auf den Raum unserer Anschauung:
Ein Vektor ist die mathematische Darstellung eines physikalischen Phänomens das durch Größe (Ausmaß) und Richtung charakterisiert werden kann (Liste reeller Zahlen oder Graphik). Ein Vektor ist ein Tensor 1-ter Stufe.
Ein Skalar ist die mathematische Darstellung eines physikalischen Phänomens (Zustands) das nur durch Größe (Ausmaß) charakterisiert werden kann (eine reelle Zahl).
Ein Tensor ist die mathematische Darstellung eines physikalischen Phänomens, das durch Größe (Ausmaß) und evtl. mehrere Richtungen charakterisiert werden kann und bei Koordinatentransformation invariant ist (ein- oder mehrdimensionale Matrix reeller Zahlen). Zum Beispiel representiert eine mn-Matrix einen Tensor 2-ter Stufe. Ein Skalar als Resultat eines inneren Produktes zweier Vektoren ist ein Tensor 0-ter Stufe.

Graphisch geometrischer Aspekt eines Vektors als gerichtete Strecke (Pfeil) im Euklidischen Raum:


a - b a + b in der von Parallelogramm in der von a und a b
Wenn der Winkel zwischen a und b größer als 90° wird, fällt der Differenz-Vektor länger als der Summen-Vektor aus - erstaunlich.
Pfeile die sich den Anfangspunkt teilen, heißen Ortsvektoren, im Gegesatz zu freien Vektoren oder linienflüchtigen Vektoren.

Algebraisch rechnerische Representation eines Vektors in einem ê1 ê2 ê3 / i j k - Rechts-System:

Ein Ortsvektor a = (x, y, z) = x ê1 + y ê2 + z ê3 der im Koordinaten-Ursprung (0, 0, 0) beginnt, heißt auch Radiusvektor. Zur Identifizierung von a genügt dessen Endpunkt, zu welchem er als äquivalent angesehen werden kann:
   |a| = √(x2 + y2 + z2 ) = a      (|a| ist eine reelle Zahl und entspricht, der Länge oder dem Betrag des Vektors).
    a0 = a / |a|      (ab aufgespannten Ebene">0 ist der Einsvektor in Richtung des Ortsvektors a).
    a0 = ê1 cos α + ê2 cos β + ê3 cos γ = (cos α, cos β, cos γ)    -    (Die Koordinaten eines Einsvektors sind seine Richtungscosinus).
   |a0 | = 1 = √(cos2 α + cos2 β + cos 2 γ)    -    (Die Summe der Quadrate der Richtungscosinus ist immer eins).
   a · b = ab = <a|b> = <a, b>, etc.
   Wenn u = μ (c1 1 + c1 2 + c1 3 ) und v = λ (c2 1 + c2 2 + c2 3 ), dann ist der Winkel α zwischen u und v gegeben durch
   α = arc cos (c1 1 c2 1 + c1 2 c2 2 + c1 3 c2 3 ) = arc cos ∑i=1 3   c1 i c2 i . - (Der Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist gleich dem inneren Produkt der zu u und v gehörenden Einsvektoren).
   ab = (a1 b1 + a2 b2 + a3b3 ) = |a||b| cos(a, b) - (Über das innere Produkt kann man den Winkel finden; da cos(-α) = cos α, ist ab = ba).
   abc ist nicht assoziativ, da das Resultat i. a. verschiedene Vektoren liefert.
   Hingegen gilt Distributivität: a(b + c) = ab + ac. Deshalb gelten die binomischen Formeln auch für Vektoren. Z. B.
   (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 = a2 + b2 - 2ab cos(a, b).
   |ba| = (a · b) / a = a0 · b.
   a · b = a · ba = ab · b und ba = |ba| · a0 = (a · b / a2) a = (a · b / a2) a.
   a x b = - b x a - Das äußere Produkt ist nicht kommutativ.

Mathematik zur Erbauung    18. April 2020 (Conrona): Hier entsteht ab heute eine Seite über mathematische Leckerbissen für Anfänger.

Mathematics for edification    As from today, April 18, 2020 (Covid-19): a page of mathematical goodies for beginners is under construction.

Am Palast der Mathematik wird seit Tausenden von Jahren von Tausenden von Menschen in vielen Ländern gearbeitet. Er ist das grösste aller Weltwunder.
The manor house of mathematics is being built on since thousands of years by thousands of people in many countries. It is the greatest wonder of the world.
Ein Mathematiker braucht Phantasie, Papier und Bleistift sowie Ideen und Methoden, um andere Ideen zu beweisen oder zu widerlegen.
A mathematician needs imagination, pencil and paper as well as ideas and methods to prove or disprove other ideas.
Neben der reinen Mathematik zur Erbauung, haben wir mathematische Methoden für alles Mögliche, insbesondere die MINT Fächer.
Alongside abstract mathematics for edification, we have mathematical methods for all sorts of things, notably the STEM fields.
Mathematik ist zeitlos, frei von Ideologien und zum Nutzen aller intelligenten Wesen auf diesem Planeten und im Universum.
Mathematics is timeless, free of ideologies and to the benefit of all intelligent creatures on this planet and in the universe.
Die verschiedenen Gebäudetrakte haben schon viele Gänge und Zimmer, die alle miteinander verkabelt sind, denn es gibt so manche Gemeinsamkeiten.
The different wings of the building have already many halls and rooms which are interlinked by wiring, because they have many a thing in common.
Aber der einzige Zugang zu all diesen Räumen führt über die erstaunliche Treppe der Grundlagen, Schritt für Schritt.
But the only access to all of these premises leads up the astonishing stairs of the basics, step by step.

numeros slanted Paul Karlson Paul Karlson sattel A geschnitten mit B A vereinigt mit B

Jeder Gebäudeteil ruht auf Axiomen, auf als wahr anerkannten Aussagen. Ausgehend von diesen, gelangt man durch logisches Schließen zu komplexeren Aussagen, also zu neuen Erkenntnissen.
Every section of the building is based on axioms, which are undisputed propositions (statements accepted as true). Proceeding from these, by logical deduction, we obtain more complex statements, i. e., new insights.
Haben wir einmal eine Aussage bewiesen, kann sie in Zukunft ebenfalls in neuen Beweisen verwendet werden.
Once we have proved a proposition, we can use it together with our set of axioms and other proved propositions in future steps of deduction.
Für dieses scheinbar simple Handwerk, müssen wir uns nach und nach neue Begriffe und Techniken aneignen. Auch eine "hieroglyphische" Kurzschrift wird uns nützlich sein. Kurz, wir schlüpfen in eine neue Haut und unser Art zu denken wird sich ändern.
For this seemingly simple craft we must acquire, bit by bit, new concepts and techniques. Even some "hieroglyphic" shorthand will be useful. Tout court, we slip into a new skin and our way of thinking will change.
Wenn wir die Treppe der Grundlagen erst erklommen haben, richten wir uns in einem der Räume des Schlosses ein. Dann wird Mathe wieder so vertraut erscheinen, wie wir es von der Schule her kennen.
Once we have mastered the stairs of essentials, we can settle down in one of the rooms of the castle. Math will then be as familiar as it used to be at school.

Apfel
UNISA
JKU
SYMBOLE